Enigmas matemáticos: ¿Cantos ceros?

 

¿Cantos ceros? ¿En cantos ceros remata 100!?

Defínese o factorial dun número como o produto de todos os números naturais dende el ata 1. Por exemplo 10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

Así 100! = 100 · 99 · 98 · ..... · 4 · 3 · 2 · 1

A pregunta é o número de ceros en que remata o factorial de 100. Razoa a túa resposta.

Dentro dunha semana poremos aquí a solución. Antes podes enviar a solución a enigmasmatematicos@cpivedra.com (pon o teu nome e apelidos e o curso e grupo). O departamento de matemáticas sorteará a final de curso, entre o alumnado que acerte máis veces un premio. (Se pensas que sabes a solución envía un único correo para cada enigma, se envías máis eses non se terán en conta)

 

SOLUCIÓN

Os 0 do final obtéñense ao multiplicar os números que posúan os factores 2 e 5 na descomposición factorial.
Sempre hai máis abundancia de doses que de cincos, pois hai moitos máis pares que múltiplos de 5. Temos que contar entón cantos múltiplos de 5 aparecen como factores en 100!, e son 20 (5, 10, 15, 20, 25,....100) pero ademais algún destes múltiplos de 5 levan dúas veces 5 como factor (en concreto, 4, que son 25, 50, 75 e 100).

Sumando resulta que hai 20 + 4 = 24 veces o número 5 en 100!, co cal aparecen 24 ceros no factorial de 100!.